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Si
existe una rama del conocimiento con la
reputación de ser exacta, infalible o
perfecta, es ciertamente la matemática. En
el lenguaje corriente, cuando queremos subrayar la
exactitud de una proposición o de un
resultado decimos:
"Con una precisión
matemática" .
Cuando nos
referimos a propiedades y teoremas nos referimos a
la época y los autores que las han
descubierto, como si las verdades
matemáticas existieran independientemente de
los científicos que las hayan
encontrado.
Las verdades
matemáticas se nos presentan como verdades
objetivas, perfectas, inmutables a través de
los siglos.
Sin embargo uno
puede hacerse la siguiente pregunta :
Si la matemática es
creación del ser humano que es falible
¿Puede entonces la matemática ser
infalible? ¿Puede un ser falible, crear lo
infalible?
¿Cómo un ser
imperfecto puede crear objetos
perfectos?
Uno podría
preguntarse algo quizás equivalente:
¿La matemática es descubierta o
inventada?
Si la
matemática fuera siempre descubierta
podría ser infalible pero si por el
contrario es inventada entonces sería
lógico esperar que fuera falible.
Leheman (1983),
citado por Thompson (1992) identificó dos
concepciones alternativa sobre la naturaleza de la
matemática que llamó absoluta y
falible y que corresponden a dos puntos de vista
opuestos en filosofía de la
matemática:
Euclídeo y Quasi
empírico (Lakatos 1978).
De un punto de
vista absoluto toda la matemática
está basada sobre fundamentos universales;
es el paradigma del conocimiento, desprovisto de
valor personal, abstracto y con conexiones de
naturaleza platónica con la
realidad.
Por el contrario,
de un punto de vista falible, se considera que la
matemática se desarrolla a través de
conjeturas, pruebas y refutaciones y la
incertidumbre es aceptada como inherente a la
disciplina.
El teorema de
Gödel que afirma que en todo sistema
axiomático, existen siempre proposiciones
indecidibles, es decir proposiciones que no se
puede probar ni que son verdaderas ni que son
falsas, introduce de este modo formalmente la
incertidumbre en la matemática.
Gödel con su teorema
parece apoyar esta visión falible de la
matemática.
David and Hersh
(1986), citado por Cooney, Shealy y Arvold (1998),
reivindican la idea que la matemática no es
tanto un dominio lleno de certitudes pero
más bien una de las vías cruciales
donde se construye y se transforma el sentido y a
veces también se pierde.
Es interesante
analizar cómo esas dos visiones opuestas de
la matemática actúan sobre los
profesores ya que ellos son los responsables en
gran medida de la imagen y la concepción de
la matemática que se forman las nuevas
generaciones.
Thompson (1988)
afirma que dado que los profesores son los
mediadores primarios entre la disciplina y el
estudiante, es natural inferir que las concepciones
de los profesores se comunican a los alumnos a
través de las prácticas de
clase.
Jacques Nimier
(1988), piensa que el profesor de matemática
deviene normalmente el representante de la
matemática, de donde surge la importancia de
suministrar una formación psicológica
de los profesores de matemática. Este autor
estudia la imagen que los profesores y los
estudiantes tienen de la matemática y su
influencia decisiva en el aprendizaje de
ésta.
Pone en evidencia,
mediante encuestas y entrevistas que muy
frecuentemente la matemática representa el
pensamiento perfecto y el orden.
Es un orden ideal
hacia el cual es necesario tender. Sólo en
matemática se puede estar seguro de la
verdad.
La
matemática son el soporte de la
proyección narcisista de la infancia y
haciendo matemática se tiende hacia ese
ideal de reencontrar la perfección
paradisíaca. La matemática son el
vehículo del pensamiento perfecto que
permite alcanzar la verdad partiendo de la
diversidad hacia la unidad.
Lakatos (1978)
afirma que en el estilo deductivo el resultado
final es exaltado y elevado a una infalibilidad
sagrada.
Pareciera que el
resultado se desprendiera del probablemente largo y
zigzagueante proceso que ha conducido al resultado;
un proceso que seguramente ha estado lleno de
incertidumbre y fallas.
Como Lakatos lo
expresa muy claramente " El estilo deductivo
esconde la lucha, disimula la aventura, toda la
historia desaparece ".
Además, la
obtención de un resultado que parece bonito
y perfecto no garantiza nada contra una futura
mejora de dicho resultado por alguien más.
Aunque dicha mejora sea pequeña, igualmente
pone en tela de juicio aquella percepción
inicial de perfección y de verdad
absoluta.
Lakatos afirma
también que el estilo deductivo hace caer
del cielo las definiciones de una forma artificial
y autoritaria.
No tomar en cuenta
esa lucha, ese proceso de ensayo y error es una
gran y doble omisión : por una parte es
ignorar la esencia humana y frágil de la
creación y el descubrimiento
matemático, más allá del ideal
universal de perfección que la
matemática representa y por otra parte es
ignorar las concepciones de los estudiantes que
constituyen los ladrillos para poder construir un
conocimiento matemático útil y
significativo para cada uno de nuestros
alumnos.
Todas las reformas
propuestas para la mejora de la enseñanza y
el aprendizaje de la matemática se topa con
el mismo obstáculo: las creencias de los
profesores.
Nimier (1988) lo
expresa claramente diciendo que es necesario
acompañar a los docentes en su cambio de
actitud.
La
aparición de software de geometría
dinámica como por ejemplo Cabri, GSP y
Cinderella representa una verdadera y profunda
revolución para aprender y hacer
matemática pero para los profesores que han
sido formados sin esa tecnología y han
enseñado durante mucho tiempo sin ella, no
les es para nada sencillo usar ambientes
informáticos y aprovechar de sus
ventajas.
Nimier (1988)
escribe " No alcanza con poner computadoras en las
clases para que sean utilizadas y consecuentemente
cambien los métodos de enseñanza
"
Nespor (1987)
citado por Pajares (1992), afirma que las creencias
son en principio inmutables y que cuando cambian no
es a causa de un argumento racional pero sino
más bien debido a una "conversión
gestáltica" . Las creencias personales de
los individuos no son necesariamente coherentes al
interior de su sistema de creencias.
Harvey (1986),
citado por Pajares (1992) define una creencia como
una representación que tiene suficiente
validez, veracidad y credibilidad para guiar el
pensamiento y el comportamiento del
individuo.
Para Rokeach
(1968), todas las creencias tienen una componente
cognitiva que representa el conocimiento, una
componente afectiva capaz de suscitar la
emoción y una componente de comportamiento
que se activa cuando se impone una
acción.
Cuando grupos de
creencias se organizan alrededor de un objeto o
situación, con una predisposición a
la acción, dicha organización
holística deviene una actitud.
Las creencias
varían en intensidad o en poder en
función de la dimensión
periférica o central que ellas ocupan.
Cuanto más central es una creencia,
más resistente al cambio es.
Nisbett y Ross
(1980) consideran que las experiencias prematuras
tienen una gran influencia sobre las
consideraciones y juicios ya que constituyen
teorías de creencias muy resistentes al
cambio.
A causa de este
fenómeno, cuanto más temprano se
adquiere una creencia y se introduce en el sistema
de creencias, más difícil será
poder modificarla, ya que las creencias afectan a
posteriori las percepciones del individuo e
influencian fuertemente el proceso de
integración de nueva información.
De esta forma, los
individuos conservan creencias basadas en
conocimientos incorrectos o incompletos, a pesar de
recibir explicaciones correctas y
científicas.
Cuando una nueva y
conflictiva evidencia aparece, el individuo tiene
una tendencia a deformar los datos para poder
conservar sus creencias aunque estas ya no
constituyan una representación correcta de
la realidad.
Esta estructura
aparentemente rígida es sin embargo
importante para el individuo, para poder
comprenderse, comprender a los otros y adaptarse al
mundo en que vive. Además los sistemas de
creencias reducen en el plano personal y social la
disonancia y la confusión.
Posner et al.
(1982) utilizan los conceptos de asimilación
y d'acomodación de Piaget.La
asimilación es el proceso según el
cual una nueva información se incorpora a
las creencias existentes en una ecología, en
tanto que la acomodación tiene lugar cuando
una nueva información no puede asimilarse y
en consecuencia las creencias deben ser
reemplazadas o reorganizadas.
Cuando las
creencias metafísicas y
epistemológicas son profundas y fuertes, el
individuo utilizará probablemente más
la asimilación que la acomodación
para integrar una nueva información.
Para realizar la
acomodación, el individuo debe estar
insatisfecho con sus actuales creencias y las
nuevas deben presentarse en forma inteligible y
coherente con otras concepciones de la
ecología.
El proceso de
acomodación parece ser, del punto de vista
de la psicología cognitiva el proceso
necesario para sobrepasar los obstáculos
epistemológicos, concepto introducido por
Bachellard (1938), retomado y extendido por
Brousseau (1986).
Green (1971),
citado por Cooney (1998) identifica tres
dimensiones o tipos de relaciones entre las
creencias de un sistema.
La primera es la
existencia de una relación
quasi-lógica entre las creencias : ellas
pueden ser primarias o derivadas.
La segunda hace
referencia a su organización espacial o su
fuerza psicológica : pueden ser centrales o
periféricas.
La tercera
está ligada al hecho que existen en clusters
más o menos aislados los unos de los otros y
protegidas así de otros clusters de
creencias.
Esta
características de las creencias no
están ligadas al sujeto mismo pero
simplemente a la forma en que se retienen.
El aislamiento
permite el desarrollo de estructuras de creencia
contradictorias, ya que evita la comparación
explícita lo que hace que el individuo no
perciba la contradicción.
Thompson (1992)
afirma que numerosos profesores de liceo transmiten
una visión autoritaria y limitada de la
matemática y Green (1991) efectúa una
distinción entre enseñar y adoctrinar
significando por esto último facilitar el
conocimiento basado en la autoridad.
Cuando los
fundamentos del aprendizaje están basados
sobre la no evidencia, aprender se convierte en un
proceso de acumulación de información
suministrada por la autoridad.
Una visión
adoctrinante de la matemática disminuye el
impacto de la racionalidad en favor de la
memorización.
Esta visión
de la matemática se opone a aquella que
considera la matemática como un
desafío y una aventura del espíritu
humano.
Existe por lo
tanto una tensión entre una
orientación del saber basado en una
autoridad externa con creencias no evidentes y una
orientación hacia un conocimiento integrado
con creencias construidas sobre la evidencia, lo
que permite la reflexión y la
consideración del contexto.
En una
visión autoritaria la asimilación
continua siendo posible pero la acomodación
se vuelve casi imposible de realizar.
Pareciera que
dicha visión favorizara también el
aislamiento de las creencias ; en efecto dado que
la existencia de las creencias es otorgada por la
autoridad y no la razón, ellas no tienen la
necesidad de compararse para comprobar su
coherencia. Su aislamiento las preserva de
descubrir posibles contradicciones.
Es interesante
observar como la acomodación Piagetiana
aparece (en la investigación sobre las
creencias) como el mecanismo capaz de hacer cambiar
una creencia, especialmente cuando ella tiene una
dimensión central.
De este modo la
acomodación parece ser también el
instrumento adecuado para sobrepasar los
obstáculos epistemológicos y
cognitivos que son objeto principal de estudio en
La Didáctica Francesa .
Pajares (1992)
finaliza afirmando que el constructo teórico
sobre las creencias es menos complicado y mucho
más limpio y claro de lo que
parece.
Cuando las
creencias son claramente conceptualizadas, cuando
sus hipótesis claves son examinadas, cuando
los significados precisos son comprendidos con
coherencia y adhesión y cuando las
construcciones específicas sobre las
creencias son bien evaluadas e investigadas, las
creencias pueden ser, como Fenstermacher (1979) lo
ha predicho, el más importante marco
teórico sobre investigación
educativa.
Retomando la
pregunta del título, hemos visto que una
concepción filosófica de la
matemática como infalible y una puesta en
escena puramente deductiva, se desemboca por su
carácter autoritario, en un adoctrinamiento
más que en una educación.
La
matemática siendo supuestamente un
formidable instrumento para enseñar a los
individuos para pensar por ellos mismos, a
discernir lo verdadero de lo que no lo es, a
encontrar los invariantes escondidos en la
diversidad, un instrumento poderoso y valioso en la
ejecución de numerosas actividades, corre el
riesgo de transformarse para muchos estudiantes en
una simple ejecución de interminables
algoritmos y cálculos sin ningún
sentido personal o la repetición de
definiciones y demostraciones que en la
mayoría de los casos no han tenido la
oportunidad de construir y que tan sólo han
podido memorizar.
Es
paradójico que esta visión
dogmática y autoritaria de la
matemática sea contraria a su esencia, a su
naturaleza profunda y a su objetivo para la
educación que es justamente suscitar en cada
estudiante el desarrollo de su racionalidad que
puede darse solamente con la producción de
significado en cada situación en particular.
Es sin embargo
importante hacer una distinción.
Una cosa es
considerar la infalibilidad de la matemática
como un ideal inspirador, que tiende a la
perfección y otra cosa muy diferente es
relegar o despreciar las aproximaciones, los
ensayos, los errores, los tanteos y las
representaciones concretas que son el material
falible con el cual la construcción de la
matemática se torna posible.
Philipp (2006)
reporta que en 2005 una encuesta de Associated
Press sondage (AP-AOL.News, 2005) mostró que
cerca del 40% de los adultos interrogados han
experimentado un claro rechazo hacia la
matemática cuando eran estudiantes y si bien
han sentido rechazo por otras materias, la tasa de
rechazo hacia la matemática era el doble que
hacia otras materias.
La
presentación de la matemática como
una disciplina perfecta y acabada las torna en
aburridas e incomprensibles para una parte
importante de la población.
Pero hay otras
causas para dicha actitud de rechazo constatada por
muchos docentes e investigadores.
Nimier (2006)
escribe que la matemática es frecuentemente
percibida como negativa y peligrosa siendo un medio
de selección y fracaso.
La
matemática es ampliamente empleada como
instrumento de selección y ello conlleva
consecuencias nefastas para la
disciplina.
En primer lugar,
el rol de principal selector es negativo para el
sistema educativo y la sociedad. Los resultados en
matemática tienden a etiquetar los
individuos según su inteligencia aunque es
bien sabido que numerosas personas que no han sido
exitosas en las matemáticas curriculares han
luego sido brillantes en sus actividades
profesionales. Recíprocamente, ser exitoso
en las matemáticas curriculares no asegura
nada ya que en la vida se requiere un conjunto
mucho más vasto de competencias y
actitudes.
Completamente
convencido de la utilidad y del valor formativo de
la matemática para todas las personas, se
desprende de los antedicho que sería mucho
más fructífero y justo efectuar
evaluaciones más holísticas, que
tengan en cuenta además, otros aspectos de
la personalidad del individuo.
Este tipo de
evaluaciones tradicionales por ser parciales,
terminan siendo erróneas para la sociedad e
injustas para el individuo que puede recibir un
juicio severo y descalificador basado en
información insuficiente.
Y por
último afirmo que hacer de la
matemática el principal criterio de
selección en la educación es
empobrecedor para la sociedad y para la
matemática misma.
¿Por
qué? Como Nimier lo indica, la
matemática puede convertirse en un
útil peligroso, capaz de generar ansiedad y
miedo.
De este modo
numerosas personas se alejan de la
matemática y recíprocamente la
matemática se aleja de numerosas
personas.
Por una lado la
matemática pierde el aporte de potenciales
descubrimientos que muchas personas podrían
hacer, particularmente en ramas no tradicionales de
la matemática.
Por el otro, una
gran cantidad de individuos prescinden de las
ventajas que podrían aportarles la
matemática en muy diversas y numerosas
actividades humanas además de desperdiciarse
su valor formativo.
Una persona es
libre de querer o no la matemática pero
tiene el derecho de experimentar aunque sea un poco
la verdadera matemática, esa aventura
formidable de descubrimiento y creación del
ser humano, ese camino que parte de los objetos
más simples y concretos para llevarnos a
otros objetos más complejos que
súbitamente devienen comprensibles y llenos
de una belleza indescriptible.
Esta
matemática que inexplicablemente es
infalible y falible a la vez ...
Esta matemática, que
la queremos infalible pero que al descubrirla
falible la queremos aún más.
Montevideo,
Uruguay 14 de julio de 2009
AGRADECIMIENTOS
Quisiera agradecer
a la Profesora uruguaya Yoselin Frugoni quien me
planteó la cuestión de la falibilidad
filosófica de la
matemática.
Del mismo modo
quiero agradecer a la Doctora Patricia Wilson quien
me introdujo en la investigación sobre las
creencias de los docentes efectuada recientemente
en Estados Unidos y finalmente a mi amigo
francés, Informático y Profesor
Christophe Foucher que gentilmente ha discutido
conmigo este texto contribuyendo a que sea
más comprensible.
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